梯度下降是机器学习中求最小值最常用的一种算法。尽管这种算法应用广泛，但是人们关于它计算复杂度的理论研究却寥寥无几。
在今年 ACM 举办的计算机理论顶会 STOC 上，牛津大学和利物浦大学的学者们，给我们证明了这个理论问题的答案。
他们得到了梯度下降算法的计算复杂度，等于两类计算机问题的交集。
这篇文章也成为了 STOC 2021 的最佳论文。
梯度下降的复杂度
四位作者研究人员将目光放在了 TFNP 中两个子集问题的交集。
第一个子集称为 PLS （多项式局部搜索）。
这是一系列问题，涉及在特定区域中寻找函数的最小值或最大值。
属于 PLS 的一个典型例子是规划一条路线的任务，以最短的路线经过一些城市，且只能通过切换城市的顺序来改变行程。
通过调整顺序可以很容易看出哪些路线缩短了行程，最终你会找到某一条路线，无法进一步缩短路程，这条路线 x 就是你要找到的最小值。
用数学公式来表示就是：（p 是求路线总长度的函数，g (x) 表示改变 x 得到的新路线）
TFNP 问题的第二个子集是 PPAD （有向图上的多项式奇偶校验参数）。
这个问题的解来自更复杂的过程，比如 Brouwer 不动点定理，即对于满足一定条件的连续函数，存在一个点保持不变。
例如，如果你搅动一杯水，Brouwer 不动点定理保证绝对会有一个水分子会回到它最初的位置。
用数学公式来表示就是：
实际应用中，我们不可能要求找到以上两个问题绝对精确的解，只要误差小于规定的值 ε 即可，也就是：
PLS 和 PPAD 这两类问题的交集本身形成了一类称为 PLS∩PPAD 的问题。
然而，直到现在，研究人员都无法找到 PLS∩PPAD 完全问题的一个天然的例子。所谓的完全问题，就是某类问题中最典型、最难的问题。
现在，来自牛津大学和利物浦大学的学者们终于找到了，梯度下降问题（GD）就是，它等价于 PLS 与 PPAD 的交集。
PPAD∩PLS 是可以通过在有界域上执行梯度下降来解决的所有问题的类别。
而 PLS 与 PPAD 的交集，被他们证明等价于 CLS （连续局域搜索问题）
PLS 与 PPAD 的任意解（either-solution）就是 PLS∩PPAD 完全问题的解。
到了这里，梯度下降算法与这两个问题有什么联系呢？
请看梯度下降算法的迭代公式：
在求解实际问题，我们也是在寻找局部最小值的近似解。我们可以设置两种计算终止条件：
1、如果 x’与 x 这两个点的损失函数小于精度 ε：
那么计算终止，这与前面 PLS 中的 Real-Local-Opt 问题类似。
2、如果 x’与 x 这两个点的空间距离小于精度 ε：
那么计算终止，这与前面 PPAD 中的 Brouwer 不动点问题类似。
第一种相当于是 PLS，第二种相当于是 PPAD。
该结果意味着，梯度下降算法精度和速度之间存在基本联系，为获得更高精度，计算时间将会不成比例地迅速增长。
精度与时间的平衡点
实际上，吴恩达在自己的机器学习课程中已经指出，梯度下降算法的运算复杂度和步数 n 的平方成正比。
若对精度要求高，需要将学习率 η 设置得更小。
如果机器学习研究者可能希望将实验的精度提高到 2 倍，那么可能不得不将梯度下降算法的运行时间增加到 4 倍。
这表明，梯度下降在实践中必须做出某种妥协。要么接受不太高的精度，要么花费更长的运行时间来换取。
例如，一些对 SGD 进行加速的优化算法，虽然收敛速度更快，但很有可能陷入局部最小值。要想获得精度更高的结果，往往必须回归到 SGD。
对于某些精度很重要的问题，运行时长会让梯度下降算法变得不可行。
但这并不是说梯度下降的快速算法不存在，但如果存在着这样的算法，将意味着 PLS∩PPAD 也存在快速算法，但寻找后者的快速算法要比前者难得多。
最后，这一问题的计算机自动证明代码已经开源，有兴趣的朋友可以前去观摩尝试。
参考链接：
https://www.quantamagazine.org/how-big-data-carried-graph-theory-into-new-dimensions-20210819/
https://www.youtube.com/watch?v=as720_SRpY0&ab_channel=SIGACTEC
https://arxiv.org/abs/2011.01929
https://github.com/jfearnley/PPADPLS/
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