如何知道月球距离地球有多远？太阳的质量和半径有多大？3 月 25 日 12 时，《张朝阳的物理课》第三十九期开播，搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间，从牛顿万有引力公式出发，通过生动的讲解带网友了解科学家们是如何估算月地距离和太阳质量的。同时，张朝阳还借助黑体辐射相关公式，估算了太阳的半径。
复习空间站受扰动轨迹方程 计算地球同步卫星轨道半径
在上一期的直播课程中，张朝阳介绍了空间站受到扰动后轨道的变化规律。为便于理解，在本次课程开始，他先带网友复习了这部分内容。假设空间站开始时做半径为 r0 的圆周运动，速度大小为 v。在某一时刻空间站受到扰动，其速度大小改变了 Δv ，那么空间站新的轨迹方程为：
由此公式可知，这个扰动的效应是线性的，轨道的变化很微小，因此在空间站工作的宇航员不用担心会因为微小的扰动而掉落下来。
回到本次课程的主题，张朝阳强调，可以使用中学物理和非常简单的数学来计算一些常见的天文学的量。他回顾了同步卫星的距离计算。所谓同步卫星，就是其绕地球的旋转和地球自转保持同步的卫星，从而与地球表面保持相对静止。由于同步卫星的周期是 24 小时。根据圆周运动的加速度和万有引力公式，卫星绕地做圆周运动的方程为：
其中 r 是圆周半径，v 是卫星速度，G 和 Me 分别是引力常数和地球质量。在圆周运动中 v=ωr，这里 ω 是角速度。代入上式可得：
张朝阳在此再次介绍了“黄金替换”：因为在地球表面有重力加速度 g=GMe / R^2，故可用 gR^2 替换式中引力常数和地球质量的乘积。另外，要计算的是同步卫星的轨道半径，所以要将上式化为
由于转一圈的弧度是 2π，一天是 60×60×24=86400 秒，因此同步卫星的角速度为 2π/86400 弧度每秒。代入各项数值即可得到同步卫星与地球中心的距离，约 42600 公里。张朝阳打趣道，这个距离相当于什么呢？打个比方，空间站就像是出了地球的家门口，而同步卫星就像是出了远门。
计算月球到地球的距离 推导太阳质量约为 2×10^30 千克
在同步卫星的计算基础之上，张朝阳顺水推舟地计算了月球到地球的距离。月球的周期大约是一个月 30 天（精确数值为 27.32 天），其角速度是同步卫星的三十分之一。根据前面的公式可以知道，月地距离的立方是同步卫星半径立方的 900 倍。因此月地距离大约是同步卫星轨道半径的 9.65 倍。这样即可估算月地距离约为 40 万公里。
他强调，假设卫星都在做圆周运动，那么转得越慢的卫星越在外层轨道，距离地球越远；转得越快的卫星越在内层轨道，距离地球越近。
随后，张朝阳又计算了太阳的质量。此情况下，地球是太阳的卫星，因此前面的公式要把地球质量换成太阳质量，即
同时，地球绕太阳的周期约为一年 365 天，据此可以得到地球公转角速度。张朝阳解释，在这里我们使用天文学测量得到的太阳到地球的距离数值。这个距离数值可以根据一些天文观测计算得到。代入相应数值之后得到太阳质量约为 2×10^30 千克。“只要很简单的计算就可以理解很多事情。”他再一次强调计算的重要性。
结合黑体辐射进行推导 估算太阳半径约 70 万公里
计算了太阳质量之后，张朝阳带网友计算太阳半径。对于太阳半径有很多计算方法，比如根据太阳的视张角，借助日地距离利用一些简单的三角关系就可以计算出太阳的半径。
▲ 张朝阳利用视张角计算太阳半径的示意图
随后，他又介绍了一种更“奢侈”的方法。太阳辐射可以近似看作黑体辐射。太阳光能量谱的峰值波长大约在 500nm 处，根据黑体辐射的维恩位移定律可计算太阳的表面温度。维恩位移定律指出，黑体的温度与其辐射的峰值波长成反比，比例常数约为 2.898×10^{-3} 米开尔文，于是立即得到太阳表面温度：
张朝阳介绍，太阳半径大约是地球半径的 109 倍，比月地距离还要大。
▲ 张朝阳利用黑体辐射知识计算太阳半径
截至目前，《张朝阳的物理课》已直播三十余期。从去年 11 月开启第一节物理直播课，他先是从经典物理学开始，科普了牛顿运动定律与能量动量守恒原理等；接着从经典物理的“两朵乌云”说起，向近现代物理过渡，探讨了黑体辐射、光电效应等问题。而后在量子力学上从薛定谔方程出发，陆续推导介绍了无限深势阱、氢原子波函数，及谐振子量子化等更加具体实用的案例。
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