用 AI 求解偏微分方程，这段时间确实有点火。
但究竟什么样的 AI 求解效果最好，却始终没有一个统一的定论。
现在，终于有人为这个领域制作了一个名叫 PDEBench 的完整基准，论文登上了 NeurIPS 2022。
PDEBench 不仅能当成一个大型偏微分方程数据集，也能作为新 AI 求解偏微分方程的基准之一 ——
不少“老前辈”的预训练模型代码都能在这里找到，作为一个比对基础。
例如去年大火了一阵的 FNO，几秒钟求解出传统方法需要计算 18 个小时的偏微分方程，代码就被放进了 PDEBench 中。
这个新基准一出，LeCun 也激情转发：这领域确实很火。
所以，AI 求解偏微分方程的优势是什么，这一基准具体提出了哪些评估方法？
为啥用 AI 求解偏微分方程？
偏微分方程（PDE，Partial Differential Equation），是一个生活中常见的方程。
包括预报天气、模拟飞机空气动力、预测疾病传播模型，都会用到这个方程。
目前北大数学系“韦神”韦东奕的研究方向之一，就是流体力学中的数学问题，其中就包括偏微分方程中的 Navier-Stokes 方程。
所以，为啥要用 AI 来求解偏微分方程？
训练 AI 的本质，是找到一种尽可能逼近真实结果的模型。
用 AI 求解偏微分方程，其实也是找到一种代理模型，来模拟偏微分方程模型。
代理模型指找到一种近似模型，在计算量更小的同时，确保计算结果与原来的偏微分方程尽可能相似。
这与传统的数值方法求解偏微分方程有着异曲同工之妙。
传统方法往往需要通过将连续问题离散化（类似在一个连续函数上切割出很多小点），来对方程进行近似求解。
然而，传统的数值方法非常复杂，计算量也很大；采用 AI 方法训练出来的模型，却模拟得又快又好 ——
继 2017 年华盛顿大学提出 PDE-FIND 后，2018 年谷歌 AI 又提出了数据驱动求解偏微分方程的方法，都比传统方法要快上不少，让更多人开始关注到 AI 求解偏微分方程这一领域。
2019 年，布朗大学应用数学团队提出一种名叫 PINN （物理激发的神经网络）的方法，彻底打开了 AI 在物理学领域的广泛应用。
这篇论文在理论上虽然没有 PDE-FIND 和谷歌 AI 的方法突破性强，却给出了非常完整的代码体系，使得开发人员很容易上手，让更多研究者开发出了不同的 PINN，如今它也成为 AI 物理最常见的框架和词汇之一。
△PINN
去年加州理工大学和普渡大学团队发表的一项研究，更是将偏微分方程计算时间从传统求解的 18 个小时降低为 1 秒钟。
这篇论文提出了一种名为 FNO （傅里叶神经算子）的方法，基于傅里叶变换给神经网络加上“傅里叶层”，进一步节省了近似模拟算子的计算量。
除此之外，也有不少研究人员通过训练一些经典 AI 模型，来求解偏微分方程，如 U-Net 等。
不过，无论是 FNO、U-Net 还是 PINN，都还是基于各自给出的基准来评估 AI 计算偏微分方程的效果。
有没有一个更统一、更通用的框架来评估这个领域的新突破？
更全面的 AI 偏微分方程基准
在这样的背景下，研究人员提出了一种名叫 PDEBench 的基准。
首先是基准中包含的数据集，目前这些数据集已经全部归纳到 GitHub 中：
这里面包括不少经典偏微分方程问题，如 Navier-Stokes 方程，达西流模型、浅水波模型等等。
随后，PDEBench 提出了几个指标，来从不同角度更全面地对 AI 模型进行评估：
最后，PDEBench 还包含了几种经典模型的预训练模型代码，并将它们作为评估其他模型的基准之一，包括上述提到的 FNO、U-Net、PINN 等。
例如研究团队将这几个模型分别基于各数据集进行了训练，得出的均方根误差（RMSE）如下，也说明它们在不同偏微分方程问题上的表现并不一样：
除此之外，团队还将数据格式进行了统一，同时针对 PDEBench 的可扩展性进行了优化，因此任何人都能参与进来，给这一基准加入更多的数据集、或是更多基准模型。
值得注意的是，团队试了试分别在 PyTorch 和 JAX 两种框架上运行几种预训练模型，发现 JAX 的速度大约是 PyTorch 的 6 倍。
看来以后搞相关研究可以试试 JAX 框架了。
作者介绍
作者们来自德国斯图加特大学，欧洲 NEC 研发中心，还有澳大利亚联邦科学与工业研究组织（CSIRO）旗下的 Data61 数字创新中心。
Makoto Takamoto，欧洲 NEC 研发中心高级研究员，毕业于京都大学，研究方向是图像处理、图神经网络和科学机器学习。
Timothy Praditia，斯图加特大学博士研究生，研究兴趣是开发基于数据驱动和先验物理知识的神经网络模型。
论文地址：
https://arxiv.org/abs/2210.07182
PDEBench 地址：
https://github.com/pdebench/PDEBench
参考链接：
[1]https://twitter.com/Mniepert/status/1581010273246523393
[2]https://mp.weixin.qq.com/s/Rbw2QFavSn8N7pPGS05o6w
本文来自微信公众号：量子位 （ID：QbitAI），作者：萧箫
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