花园里的弦理论

本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），作者：周思益（神户大学博士后）

1915 年爱因斯坦提出广义相对论，这是一个很成功的理论。目前来看，在描述一切大尺度上的现象上面这一理论都取得了惊人的成功。然而在小尺度上，爱因斯坦引力却面临着问题，比如我们考虑量子引力的时候，引力子的圈图是发散的，这意味着引力是不可重整的。在小尺度上爱因斯坦的引力理论需要修正。

但是，理论物理学家并不知道具体怎样修正，甚至不知道是否需要对引力进行量子化。不过，毕竟引力波和电磁波在很多性质上都具有惊人的相似性，那么很自然地，理论物理学家会相信量子引力的存在。探索引力的微观本质成了很多学者研究的重要目标。弦论是目前唯一的比较成熟的量子引力模型，当然也有一些其他的量子引力模型。

对理论参数化

在大尺度上，理论必须回到广义相对论，因此理论物理学家的做法是将小尺度上的理论进行参数化，设置一些对于爱因斯坦引力的修正参数 α、β 等。其中 α 是量子引力对低能的爱因斯坦引力的最低阶，也是最重要的修正；另外一些更小的修正项的系数为 β，等等。不同的量子引力模型会给出不同的 α、β 值。这些参数越大，代表这个量子引力模型在低能下对于爱因斯坦的修正越大。

从弦论出发，我们可以计算出 α 的精确值。那么弦论究竟是不是那个唯一正确的量子引力模型呢？现在我们还无法回答这个问题，但最近一项工作为其添加了更强的证据。以色列特拉维夫大学 Andrea Guerrieri、瑞士洛桑联邦理工学院 João Penedones 和加拿大圆周理论物理研究所的 Pedro Vieira 在《物理评论快报》（PRL）发表论文，他们给出了参数 α 的下限，表明弦论处于一片“花园”之中。

文章最近有一项名为“Where is String Theory in the Space of Scattering Amplitudes”的工作。这个工作中举了可以进行精确计算的 IIA 型弦论和 IIB 型弦论。我们现在还不能知道其他量子引力理论给出的 α 值是多少。

正定性的限制

一般来说，正确的量子引力模型需要散射振幅满足很好的解析性质。另一方面，散射振幅在高能的情况下必须是有限的。Andrea Guerrieri 等人的文中构造了这样一个函数

在 z 为无穷大的时候是有限的。图为 g (z) 这个函数在复平面上的围道。从围道积分即可推出 α 跟散射振幅的关系：

由光学定理可以导出 α≥0。这也就是一般所说的正定性限制。显而易见，正确的量子引力模型 α≥0。而 α＜0 的区域，论文作者比喻为“沙漠”。

Bootstrap

在三位物理学家的引力量子化工作中，他们使用了 Bootstrap 的方法，这是理论物理中常用的方法。Bootstrap 这个词本身是指鞋后面用于提鞋的东西，也表示靠自身的能力来发展，在物理中一般译为“靴绊”或“自举”。它的意思是从理论的本身的自洽性条件出发，对这个理论的参数自动做出一些限制，是一种非微扰处理方法。Bootstrap 在理论物理中的应用相当广泛，最多的应用集中在共形场论这个领域。

Bootstrap 方法的主要思路是，不从具体的高能模型出发，而是把关注点放在假设高能模型所一定具有的性质上面。几年前，Andrea Guerrieri 等人首先成功将这种方法应用在 π 介子的相互作用上，这次他们目标是引力。他们使用的是散射振幅 Bootstrap：首先写出高能理论满足一定条件的散射振幅所具有的形式，然后把这个散射振幅在低能进行展开。

下面是散射振幅的一个一般形式：

其中 G_N 是牛顿常数。s, t, u 是曼德斯坦不变量，ρ 是跟曼德斯坦不变量所构成的函数。他们从高能理论所必须满足的性质（洛伦兹不变，交叉对称性，解析性和幺正性）出发，推出了这里面的一些系数 α_(abc) 所必须满足的性质。接着，他们再把这个满足高能理论的良好性质的函数在低能，也就是 s 很小的极限下面进行展开。此时散射振幅形式如下：

由于散射振幅的高能展开式的形式很长，所以他们必须对 N 做一个有限大的截断，得到低能理论的 α 值之后再进行插值，得出 N 趋于无穷的时候，α 必须满足的条件。经过数值计算，最终得到 α≥0.13±0.02。

因为弦论一共有五种，Type IIA，Type IIB，Type I，SO (32) 杂化弦和 E₈×E₈ 杂化弦，这几种弦论统一在了 M 理论的框架下。这项工作中他们也出了弦理论可以进行精确计算的 IIA 型弦论和 IIB 型弦论的 α 参数，分别是和。也就是说，弦论预言给出的参数 α≥0.14，这与 Bootstrap 方法惊人的相似，恰好覆盖了弦理论给出的限制。因此作者比喻这里是弦理论的花园，如作者所说，“在一个绝佳的位置，一直延伸到花园的边缘，与沙漠被一个可怕的沼泽隔开。（It is in a prime location, stretching all the way to the edge of the garden, separated from the desert by a formidable swamp.）”不过，我们现在还不能知道其他量子引力理论给出的 α 值是多少。

花园就是所有量子引力模型必须在的地方，而弦论占满了整个花园。

小结

这篇文章的目的是，想找到弦论在所有符合量子引力要求的高能理论模型中所占有的位置。引力的低能有效理论的散射振幅中的参数给出了具体的高能理论的特性。不同的高能理论的模型能够给出不同的 α 值。从最简单的，散射振幅必须满足的解析性和幺正性出发，我们可以快速排除 α＜0 的沙漠区域，这也就是所谓的正定性条件。Andrea Guerrieri 等人的工作希望对高能的散射振幅进行更严格的约束，从而给出更严格的 α 所必须满足的条件。我们可以看到，弦论几乎占据了所有被 Bootstrap 方法允许的区域。这给弦论作为自洽的量子引力模型提供了更强的证据。

参考文献

• [1] Andrea Guerrieri, João Penedones, and Pedro Vieira，Phys. Rev. Lett. 127, 081601 e-Print: 2102.02847 [hep-th]

• [2] https://www.quantamagazine.org/a-correction-to-einstein-hints-at-evidence-for-string-theory-20220121/

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