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原子模型的发展下:玻尔模型的缺陷与薛定谔

万象经验 2022/12/26 12:43:01 责编:远生

1912 年,尼尔斯・玻尔提出了一个原子模型,其中电子绕原子核运动,就像太阳系中的行星绕太阳运动一样。但两者不同的是,玻尔提出电子只能占据与普朗克常数成比例的某些能级,他把这些能级称之为原子轨道。换句话说,这些轨道中电子的能量被量子化了。当电子从较高的轨道转移到较低的轨道时,它们以光子的形式释放能量;当它们从较低的轨道移动到较高的轨道时,它们会吸收能量。玻尔的原始方程如下图,他的方程指出,能量取决于量子数 n,也就是电子所在的轨道。

该模型解决了经典物理中的几个问题,并有助于我们目前对量子力学的理解。但它未能精确再现原子发出光的实验结果,它只是根据主轨道来预测原子的结构,没有考虑到电子的自旋或相对论效应。也就是说,原子存在更精细的结构,它具有亚轨道。

薛定谔认为,根据量子力学,电子不会像行星一样被限制在轨道上,它是一种物质波,在 3D 空间中形成分布在原子核周围的概率云。薛定谔方程描述了这种行为的规则,并且超越了玻尔的原子模型,更精确地描述了自然界中存在的每一个原子的结构。

薛定谔方程表明,每个电子壳层都有它可以容纳的最大电子数。最内层最多容纳 2 个电子,第二层最多容纳 8 个电子,接下来是 18、32、50,以此类推。所以现在需要解释的是为什么这些数字如此特别?为什么原子间的相互作用要遵循这些数字呢?这一切都要归结于能量。

宇宙中的系统总是趋向于它们的最低能量状态。为了最大限度地减少能量,电子总是从内层开始填充并向外移动。可以证明,壳层是满的或者空的都会使原子的能量最小化。为了了解其中的原因,我们必须求解薛定谔方程。虽然这个方程看起来挺吓人的,但它本质上只是能量守恒的表达。简单来说,就是总能量等于动能加势能。

使用氢原子最容易解出这个方程,因为它是最简单的原子,只有一个电子绕一个质子旋转。因为核是由一个质子组成的,所以它是球对称的。这种球对称性可以使解足够简单,这对于精确求解薛定谔方程至关重要。尽管我们使用最简单的模型,但为了求得氢原子的波函数,还需要耗费大量的时间和纸张进行推导,最后得出了这个公式。

在这个波函数中,我们主要关注三个参数:n、l 和 m。n 代表的是电子壳层,n=1 是基态,也就是氢的最低能量状态。但氢并不总是处于最低能态,所以它可以有其他的值。l 是壳层角动量的量子数。m 是指定壳层空间方向的数字。当我们在方程中代入不同数值的 nlm 时,它也近似地代表了任何其他原子的所有电子量子态的解。所以这个方程可以让我们预测元素周期表中所有元素的电子行为。

现在,我们要说明这三个数的取值范围。首先,它们都必须是整数。由于 n 代表电子壳层,所以它必须从 1 开始取值;而 l 的取值范围是 0 到 n-1 之间的整数;m 的取值范围是-l 到 + l 之间的整数。例如 n=1,则 l=0 和 m=0;n=2,则 l=0 或 1,m=-1、0 或 1。

于是,当 n=1 时,(n,l,m) 有 1 种可能的构型;当 n=2 时,(n,l,m) 有 4 种可能的构型;当 n=3 时,(n,l,m) 有 9 种可能的构型,以此类推。别忘了,电子是费米子,它的自旋为 1/2,方向可以是向上也可以是向下,因此我们要将这些构型乘以 2,也就是我们上述提到的 2、8、18、32……

只求解氢原子的薛定谔方程,可以让我们应用到元素周期表的所有元素。但是,这并不是完全准确的,对于较大的原子来说会有一些小变化,壳层的占用方式可能会略微不同。

本文来自微信公众号:万象经验 (ID:UR4351),作者:Eugene Wang

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关键词:原子模型薛定谔玻尔

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