p 进数：展开有理数，何必是实数

本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），作者：张和持

上帝创造了整数，其他都是人类的工作。

—— 利奥波德・克罗内克（Leopold Kronecker）

进数的引入动机

 进数的其实不是一个符号，而是代表某一个素数。有理数域可以扩充为实数域，但是这种扩充并不是唯一的。上面所说的进数，就是指对于任意素数，都可以扩充为进数域。实数来自于有理数的小数展开，而进数来自有理数的进展开。虽然小数也有不同进制的写法，但是这与进数本质上是不一样的：小数展开默认的是逐次变小，而进展开则默认逐次变“小”。我们将在后文中解释这个问题。如下图所示，实数与进数的地位是相同的。

首次引入进数的是德国数学家亨泽尔（Kurt Hensel），而在他之前的库默尔（Ernst Kummer）已经隐含地使用过了这种奇妙的数字。如同库默尔一样，亨泽尔的原始工作也很难读懂。他的文章发表于 1897 年，此时“域”的概念才仅仅诞生了 4 年：1893 年，韦伯（Heinrich Martin Weber）第一次定义了域，它是一个带有加法和乘法两种运算的集合，也可以写作，满足

• 加法和乘法的结合律

• 加法和乘法的交换律

• 加法和乘法都有单位元（一般把加法单位元写作，乘法单位元写作）

• 每个元都有加法逆元，也就是

• 每个非零元都有乘法逆元，也就是

• 乘法对于加法满足分配律

我们熟悉的有理数和实数都是域。韦伯之所以这么定义，是想把（就是模剩余类，比如说一周七天的算术就是）也纳入进来。如果去掉乘法逆元的条件，上述定义就变成了所谓的交换环，最典型的例子就是整数环。

数论的问题通常是关于的，如果在中允许非零元有乘法逆，就得到了，这个构造叫作取的分式域。由于很多中得到的结论都能直接套到上（例如中首项系数为的多项式存在有理根当且仅当它存在整数根），所以我们通常把它们放在一起考虑。但是这两个对象的性质都很“糟糕”。例如，我们想要判断对于某一对非零的，是否有有理数解。这看上去根本无从下手。但是如果想要判断有没有实数根，就很简单了：只要中有一个，就存在实数解，反之则不存在。假如，那么就是一个实数解。但是如果，那么对于任意实数，都一定，所以不存在实数解。很显然，存在有理数解，那就一定存在实数解，毕竟，但是反过来并不一定成立。那实数解的存在性对有理数解有帮助吗？答案是肯定的，为此我们需要定义希尔伯特符号（是“或者”，是“并且”）：

要解决有理解的判断问题，需要对于每个素数定义希尔伯特符号。这个定义同样初等，但是稍微麻烦一些，有兴趣的读者可以自行查阅参考文献 [1]，我们之后不会涉及这个定义本身。重点在于，这个定义是可以直接计算的，所以很方便判断。数学家们证明了一个惊人的定理：存在有理数解当且仅当对所有都成立。

这个定理的确非常方便，但它提出了一个更加深刻的问题：既然可以解释为判断是否有实数解，那是否也对应着一个的扩域，而且当且仅当方程在这个域中存在解呢？如果的确如此，那似乎我们就能把有理数解看作是这些所有域中解的“交集”。

当然，交集的说法并不准确。就结论而言，我们要寻找的对应的正是进数域，这些所有的和一起，可以称为对应的“局部域”。而则是“整体域”。

上面的定理其实是在讲局部与整体的对应。这听起来似乎匪夷所思，明明域变大了，却从整体变成了局部。要解释这一点，我们要先了解一些几何学。

类比整数环  与多项式环

早在抽象环论诞生之前，数学家们就注意到数论与几何的相似之处。具体来说，与作为环的性质非常相似，比如这两个环都能做带余除法，因此它们都是欧几里得整环。这里是以为系数的多项式环，这个系数域就算换成别的域也会有很多相似之处，但是我们这里需要用到一些分析的方法，所以复数最为方便。顺带着，它们的分式域和也很相似。就是指允许非零多项式做除法。的元可以看作是上的亚纯函数：它们的分母在个别点不一定不为零，所以这些函数会有趋于无穷的极点，但是这些点都是离散的，很容易处理。对于而言，局部显然就是指其中的任何一个点。这些亚纯函数在任何点附近能展开成洛朗级数，就如同全纯函数（处处解析）能在任何点展开成泰勒级数一样，只不过洛朗级数允许存在这样的项。例如，在点附近，可以展开

的形式。在任何点处我们都能定义亚纯函数的阶为其洛朗展开最左边那一项的次数。比如上面这个函数在这一点的阶就是。类似的展开也可以在中进行。一般来说对于某个有理数，我们都能将它写作的形式，其中是互不相同的素数，是整数，可正可负。定义。我们有没有办法把展开成类似

的形式呢？答案是肯定的，你可以形式化地对做进展开

为什么可以这样写呢？对于一般的实数除法，商的小数点后的数字会越来越长，因为我们默认数字的位数越靠后，其“大小”就越小，所以我们才能写出这样的无穷小数。但是要做出上面这样的展开，其实是默认的序列会越来越“小”，我们先写，这样只需要算，最后整体移动一位。计算如下

细心的读者会发现，这样的除法之所以每一步都能算出商的一位数字，依赖于是域这个事实，所以对于不是素数的数，不是域，也就不能这样展开。

这样就算出了

现在完全依靠类比，我们得到了这样的展开式。对任意素数，我们称这样的展开为进展开。这样的展开与小数的进制表示非常相似，这也也解释了它的名字。但这纯粹是形式上的。我们还需要解释三个问题：

• 有理函数在某点的洛朗展开显然与“局部”有关，但是有理数在素数处的进展开为什么也叫局部？

• 为什么也是的局部？

• 究竟要怎么严格定义进展开？也就是说，如何定义？

为什么叫局部？

我们需要把中的点与联系起来，这样才能知道，对于来说，点究竟是什么意思。为此我们需要理想的概念。对于一个交换环，理想是一个满足以下性质的真子集：

• 对于加减法封闭；

• ，也就是说的元在乘上任意中的元之后，结果仍在中。

这个定义原本是库默尔（Ernst Eduard Kummer）与戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）为了解决代数数域中素元分解不成立而提出的（这也是为什么叫做理想：一个非常“理想”的子集），代数几何学家们却找到了它的几何意义。我们用来表示中包含的最小理想（也就是说由生成的理想）。这是一个极大理想，也就是说，它不是任何理想的真子集。实际上，对于中的任意点，都是极大理想。而反过来，中的所有极大理想，全都形如。所以的点与的极大理想一一对应。这样我们就能考虑的极大理想，来当作它的点了，而的极大理想正是所有形如的理想。

这样简单的类比其实还不能称为“几何”。这要等到格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）创造性地提出概型理论，研究的代数几何与研究的数论才能真正统一在一起。在这套理论中，环的素理想（本文中不需要这个概念）被称为点，而极大理想则是闭点。这套理论需要更加艰深的背景知识，本文就不做介绍了。总之，上面我们用到的洛朗展开和进展开，都是对应两个环的闭点。如果接受这样的设定，你就会发现“局部”的说法没什么问题。

那么在中的展开，也就是小数展开，它算什么呢？它其实是对应有理函数在无穷远点的洛朗展开。如图所示

复平面上的任何点都可以对应于球面上的某点，只需要连接球的顶端与复平面上的点，线段一定会交于球面上的一点。这样就建立了复平面与球面（除了顶端一点）的一一对应。而如果在复平面上以任何方向接近无穷，转换到球面上，就一定会逼近顶点。这样我们就可以把这个球面当作是的扩充，称为黎曼球面，记作。

现在要对有理函数在无穷远点处做洛朗展开，其实就是把里的有理函数看作是是的函数，然后在处作洛朗展开。也就是

因为这样的类似性，我们上面定义的判别式才写作。

定义

为了定义，我们首先得知道是什么。从逻辑上来说，第一个定义的应该是自然数，然后才是, 但是这每一步是怎么来的呢？是由皮亚诺公理定义的，也就是从开始，规定每个数都有一个后继数，所以可以使用数学归纳法。随后我们要得到，该怎么办呢？直观来看，定义整数允许了负数的存在。但是负数究竟是什么？比如说，它其实是，也可以是。所以如果要用来定义的话，一个整数实际上是中的一个等价类，也就是当时，我们规定等价关系。这样就可以定义为所有等价类构成的集合。当然是的子集，因为自然数相当于是这个等价类。类似的方法可以构造：因为允许分数存在，而且如果，就有，所以我们定义，其中当时。而整数也可以等同于等价类，所以也是的子集。上面两次扩张，都是允许了某种新的运算，然后通过取等价类的方式来构造的。

那么是允许了什么运算呢？答案是取极限。从事后诸葛亮的角度来看，如下序列

的极限是，但是现在我们只有，所以我们只能说，这个序列在中是不收敛的。如果让所有像这样的序列都收敛到一个数，那想必就是了。但并不是所有序列都收敛，比如

所以我们需要对序列加以限制，然后取某种等价类。限制后的序列被称为柯西列，定义如下：对于有理序列，满足对于任意，都存在一个，使得只要，就有。直观来看，就是要求序列的尾部摆动趋于。不难证明，收敛于有理数的序列都是柯西列，所以这可以说是中收敛序列的自然推广。当然两个柯西列有可能收敛于同一个数，所以我们还需要等价关系当且仅当。这样所有柯西列组成的集合中的所有等价类就定义为。所有的有理数都等同于是常数柯西列的等价类，所以也是的子集。这也可以解释一个对外行而言难以解答的问题。其实是柯西列，而则是柯西列。他们的差是序列，趋于，所以两个柯西列等价。

不过我们要注意一点，柯西列的定义依赖于。当然这里的的定义是平常意义上的绝对值。绝对值表示两个数之间的距离。在中，是越来越小的。但是我们看到，在上面的进展开中，越来越小的却是，这就提示我们，应该更改这个距离的定义，我们暂且把这种新距离称为，称为进度量。我们需要越大，就越小，所以一个自然的定义是。其实底数不一定要是，取任何大于的数都可以（他们决定的柯西列是完全一致的），之所以取只是为了方便。当然，距离并不是随便取的，函数需要满足三条性质才能叫做度量函数（这其实定义了域上的范数）：

• 当且仅当；

• ；

• ，也就是三角形法则，两边之和不小于第三边。

这样只要有距离函数，就能定义柯西列，就能定义新的域。这个过程被称为完备化，因为我们称任何柯西列都收敛的域为完备域。总结一下，就是说的绝对值度量完备化得到，而的进度量完备化就定义为，就是我们想要的进数域。我们甚至可以对定义类似的距离，得到的完备化就是形式洛朗级数域和。所谓形式洛朗级数，就是形如一个洛朗级数的表达式，不过不用处理收敛问题。则通过洛朗展开，嵌入到这些形式洛朗级数域中作为子集。

不过我们并不把称为局部域，这是别的原因了，与本文无关。我们可以看到，这些嵌入关系与进数非常相似。

既然任意给一个度量就能定义柯西列，那除了绝对值和进度量之外，还有别的方法定义距离吗？答案是没有。在中，任意一个满足上面三条性质的度量，都等价于绝对值或者是某个进度量。也就是说，以上我们提到的就是所有的完备化方案了。我们平常计算实数的时候倒并不会总是考虑柯西列，反而是小数展开更常用；同样，实际计算进数的时候，更常用进展开。

运用以上构造，我们可以证明当且仅当方程在中有解。所以我们开篇提到的定理，就可以表述为：在中有解当且仅当其在所有及中有解。

我们自然而然会问，是不是任意给一个多项式方程，其存在有理解的条件都等同于存在实数解和所有进数解？答案是否定的，有不少多项式不成立这个结论。这激发起了数学家们的好奇心：究竟哪些多项式有类似的性质呢？我们把这个方向称为局部 — 整体原则，直到今天，它所催生的新知识还在源源不断滋养着整个数论的研究。

跟现实有什么关系吗？

的确，数论是距离现实世界非常遥远的一个学科。近些年来，有部分数论被应用于密码学。而要直接应用于物理，以描述现实世界，并被大多数物理学家所接受，这样的工作目前还不多。

这从逻辑上其实是很奇怪的。的完备化只有和，但为什么我们今天的物理理论全都是用及其代数闭包描述的呢？进数与实数从逻辑上讲没有任何高下之分，他们都可以做导数，做积分，大多数你能想到的分析工具，都能平等地用到它们身上。那为什么我们生活在实数世界，而不是进数世界呢？

还真有人想到了这种可能性。弦论中，弦扫过的世界面是用一维复流形（也就是黎曼面）描述的，但是如果把黎曼面换成是进几何学中对应的概念，也能创造出一套弦论，称为进弦论。目前来看，这方面的研究成果还处于玩具阶段。不过，这并不影响我们的好奇心。毕竟，我们仰望夜空，只是因为群星很美丽。

参考文献

• [1] 加藤和也，黑川信重，斋藤毅.数论 I——Fermat 的梦想和类域论.

• [2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.

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