这些由非常简单的方程定义的曲线笼罩在神秘和优雅之中。事实上，描述它们的方程非常简单，即使是高中生也能理解。
然而，尽管世界上一些最伟大的数学家做出了不懈的努力，仍有大量关于它们的简单问题尚未解决。但这还不是全部。正如你很快就会看到的，这个理论连接了数学的各个重要领域，因为椭圆曲线不仅仅是平面曲线。
一个古老的问题
在数学中，一些几何问题可以转化为代数问题，反之亦然。例如，看一下几千年前的一个经典问题，正整数 n 是否等于某个边长是有理数的直角三角形的面积。在这种情况下，n 被称为同余数。例如，6 是一个同余数，因为它是边长为 3，4 和 5 的直角三角形的面积。1640 年，费马证明了 1 不是全等数。自从费马的证明之后，证明某个数是（或不是）同余数的研究就一直在进行。
令人惊奇的是，我们可以用初等方法证明对于每一组有理数（a，b，c），如果有
我们可以找到两个有理数 x 和 y，使得
反过来，对于每个有理数对 (x, y) 使得 y^2= x^3- (n^2) x 且 y≠0，我们可以找到三个有理数 a, b, c 使得 a^2+ b^2= c^2 和 1/2 ab = n。
也就是说，当 y≠0 时，面积为 n 的直角三角形恰好对应方程 y^2= x^3- (n^2) x 的有理解，反之亦然。数学家会说这两个集合之间存在双射。
因此，当且仅当方程 y^2= x^3- (n^2) x 有一个有理解 (x, y) 且 y≠0 时，n＞0 是同余数。例如，由于 1 不是同余数，y^2= x^2- x 的唯一有理解是 y = 0。
具体对应如下，
如果我们在边长为 3，4，5，面积为 6 的三角形上尝试这种对应关系，那么对应的解是 (x，y) =(12，36)。这非常不可思议的。一个人从数论和几何的问题开始，通过代数，把它转化成一个关于平面曲线上有理点的问题！
椭圆曲线
一般来说，如果 f (x) 表示具有非零判别式的三次多项式（即所有的根都是不同的），那么 y^2= f (x) 描述的是一条椭圆曲线，除了“无穷远点”（即椭圆曲线上点在加法运算下构成的群中的单位元）。
现在，通过一个小小的代数技巧，我们可以对坐标进行适当的（有理）改变，并得到一条形式为
的新曲线，使得两条曲线上的有理数点一一对应。从现在开始，当我们说“椭圆曲线”时，指的是 y^2= x^3+ ax + b 形式的曲线以及无穷远处的一点𝒪。此外，我们假定系数 a 和 b 是有理数。
椭圆曲线有两种典型的形状，如下图所示。
维基百科
然而，如果我们把 x 和 y 看作复变量，曲线看起来就完全不同了。它们看起来像是甜甜圈。
那么我们为什么要研究椭圆曲线，我们可以用它们做什么呢？
首先，许多数论问题可以转化为丢番图方程的问题，其次，椭圆曲线与被称为格子（lattices）的离散几何对象有关，并与一些非常重要的被称为模形式的对象密切相关，这些对象是一些极其对称的复函数，其中包含大量的数论信息。
实际上，椭圆曲线和模形式之间的联系是证明费马大定理的关键，安德鲁・怀尔斯在 20 世纪 90 年代通过几年的努力实现了建立了这种联系，从而证明了费马大定理。在密码学中，椭圆曲线也被用于加密信息和在线交易。
然而，它们最重要的特征是一个令人兴奋的事实，即它们不仅仅是曲线和几何。事实上，它们有一个代数结构叫做阿贝尔群结构，这是一种几何运算（规则），用来把曲线上的点相加。对于阿贝尔群，你可以把它想象成一组对象，对它们进行运算，使得它们具有与整数在加法方面相同的结构（除了它们可以是有限的）。
阿贝尔群的例子有：
关于加法运算的整数ℤ。
将正方形顺时针旋转 90 度的操作。
以向量为元素，向量加法为运算的向量空间。
椭圆曲线的神奇之处在于，我们可以在椭圆曲线上的有理数点（也就是说，x 和 y 坐标都是有理数）之间定义一个运算（称它为“⊕”），这样曲线上这些点的集合就变成了一个关于运算“⊕”和单位元素𝒪（无穷远处的点）的阿贝尔群。
让我们定义这个运算。如果你在曲线上取两个有理点（例如 P 和 Q），并考虑一条经过它们的直线，那么这条直线与曲线相交于另一个有理点（可能是无穷远处的点）。我们称这个点为-R。
现在，因为曲线是关于 x 轴对称的，我们得到另一个有理点 R。
这个反射点（上图中的 R）是前面提到的两个点（P 和 Q）的相加。我们可以写成
可以证明，这个运算是满足结合律，这真的很令人惊讶。此外，无穷远处的点作为这个运算的（唯一）恒等式，每个点都有一个逆点。
巨大的谜团
事实证明，两条不同的椭圆曲线可以有截然不同的群。一个重要的不变量，在某种意义上是最具定义性的特征，就是所谓的曲线（或群）的秩。
一条曲线上可以有有限个有理点，也可以有无限个有理点。我们感兴趣的是，需要多少点才能根据前面提到的加法规则生成所有其他的点。这些生成器被称为基点。
秩是一种维数度量，就像向量空间的维数一样，表示有多少独立的基点（在曲线上）具有无限阶。如果曲线上只包含有限数量的有理点，那么秩为零。仍然有一个群，但它是有限的。
计算椭圆曲线的秩是出了名的困难，但莫德尔告诉我们椭圆曲线的秩总是有限的。也就是说，我们只需要有限数量的基点就可以生成曲线上的所有有理点。
数论中最重要和最有趣的问题之一被称为波奇和斯温纳顿-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是关于椭圆曲线的秩。事实上，它是如此的困难和重要，以至于它成了千禧年难题之一。
在具有有理数系数的椭圆曲线上寻找有理点是困难的。一种方法是通过对曲线 p 进行模数化简，其中 p 是质数。这意味着，我们不考虑方程 y^2= x^3+ ax + b 的有理解集，而是考虑同余
的有理解集，为了使它有意义，我们可能必须通过在两边乘以整数来消去分母。
所以我们考虑的是两个数，当除以 p 时余数相同，在这个新空间中相等。这样做的好处是，现在只有有限数量的东西需要检查。让我们用 N_p 表示对 p 取模的简化曲线的有理解的个数。
在 20 世纪 60 年代早期，戴尔在剑桥大学计算机实验室使用 EDSAC-2 计算机来计算在已知秩的椭圆曲线上取 p 模的点数。他和数学家布莱恩・约翰・伯奇一起研究了椭圆曲线，并在计算机处理了一堆下面形式的椭圆曲线之后
对于 x 的增长，他们从与曲线 E 相关的数据中得到以下输出：y^2= x^3- 5x（作为一个例子）。我应该注意到 x 轴是 log log x，y 轴是 log y。
在这个图上，回归线的斜率似乎是 1。曲线 E 的秩是 1，当他们尝试不同秩的曲线时，每次都发现了相同的模式。拟合的回归线的斜率似乎总是等于曲线的秩。
更准确地说，他们提出了大胆的猜想
这里 C 是某个常数。这种计算机运算加上极大的远见，使他们对曲线的哈塞-韦尔 L-函数 L (E，s) 在 s = 1 时的行为做出了一般性猜想。这个 L 函数定义如下。让
令曲线的判别式记为 Δ。然后我们可以定义与 E 相关的 L 函数为以下的欧拉积
我们把它看做复变量 s 的函数。波奇和斯温纳顿-戴雅猜想现在是这样的：
设 E 为ℚ上的任意椭圆曲线。曲线 E 的有理点的阿贝尔群 E (ℚ) 的秩等于 s = 1 时 L (E, s) 的零点的阶。
之所以说它很有远见是因为，在当时，他们甚至不知道是否所有这样的 L 函数都存在所谓的解析延拓。问题是，上面定义的 L (E, s) 仅当 Re (s)＞3/2。
它们都可以用解析延拓在 s = 1 处求值，这在 2001 年首次被证明，通过安德鲁・怀尔斯证明的与模形式的密切联系。有时这个猜想是用 L 函数的泰勒展开来表示的，但它是用不同的方式来表达同样的事情。有理数的领域可以被更一般的领域所取代。
椭圆曲线的是一场数论、抽象代数和几何之间的美丽舞蹈。关于它们，除了我在这里描述的，还有很多可说的，我希望你能感受到或看到一些令人震惊的东西。
本文来自微信公众号：老胡说科学 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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