阿基米德、牛顿和高斯这三个人，在大数学家中自成一个等级，试图按照功绩排列他们的位置，不是普通人做得到的。这三个人都在纯数学和应用数学方面掀起了浪潮：阿基米德评价他的纯数学高于它的应用数学；牛顿把他的数学发明应用于科学；而高斯宣称，做纯数学还是应用数学，对他都一样。然而，高斯还是把高等算术（他那个时代最不实用的数学研究），推崇为全部数学的皇后。
数学王子高斯是一个贫穷人家的子弟，1777 年 4 月 30 日出生在德意志不伦瑞克的一个村舍里。在整个数学史中，从没有过像高斯那样早熟的人。人们不知道阿基米德何时显露出天才的迹象。牛顿最早表现出他极高的数学才能时，可能也没有被注意到。虽然有些难以置信，但是高斯在 3 岁以前就显示出了他的才能。晚年的高斯喜欢开玩笑，说他在会说话以前就知道怎样数数了。他终生保持着作复杂心算的非凡能力。
高斯刚过 7 岁就进了他的第一所学校。高斯 10 岁时开始上算术课。在早期的学习中，高斯发展了一生中的一个主要兴趣。他很快掌握了二项式定理，
其中 n 不一定是正整数，它可以是任何数。如果 n 不是正整数，右边的级数是无穷的，为了说明这个级数何时真正等于（1+x）^n，必须研究对 x 和 n 需要加什么限制，才能使无穷级数收敛到一个确定的有限的极限。因为，如果 x=-2，n=-1，就得出荒唐的结论（1-2）^-1，就是（-1）^-1，也就是-1，等于 1＋2＋2^2＋2^3＋…，以至无穷；那就是说，-1 等于“无穷数”，这显然是荒唐的。
高斯与二项式定理早期的相遇，鼓舞他做出一些最伟大的工作，他成了第一个 "严格主义者"。当 n 不是一个大于零的整数时，二项式定理的证明甚至在今天也超出了初级教科书的范围。高斯不满意书里的证明，高斯又作了一个证明，这使他开始进入数学分析。分析学的真正精髓在于正确使用无穷过程。
高斯将要改变数学的整个面貌。牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯 —— 都是他们各自时代的大数学家 ———— 实际上对于现在可以接受的、涉及无穷过程的证明毫无概念。是高斯第一个清楚地看到，可能会导致像“-1 等于无穷大”这样荒唐的结论的 "证明"，根本就不是证明。即使在某些情形下，一个公式提供了没有矛盾的结果，它在数学中也是没有地位的，除非确定了严格的条件，它在这些条件下能不断地产生没有矛盾的结果。
高斯赋予分析学的严格性，在他自己的习惯和他的那些同代人 ——— 阿贝尔、柯西，以及后继者 —— 魏尔斯特拉斯、戴德金 —— 的习惯的影响下，渐渐使数学的其他领域相形见绌，高斯以后的数学成了与牛顿、欧拉和拉格朗日的数学完全不同的东西。
从积极的意义上说，高斯是一个革命者。12 岁时他已经用怀疑的眼光看欧几里得几何基础了；到 16 岁，他已经第一次瞥见了不同于欧几里得几何的另一种几何。一年以后，他开始探索性地批判数论中他的前辈们感到满意的那些证明，并从事于填补空白。算术是他最早获得成功的领域，成了他发表巨著的阵地。高斯对于什么是证明的本质，具有确信无疑的感知，同时又具有无人超越的、丰富的数学创造能力。这二者的结合是无坚不摧的。
高斯曾受到哲学研究的强烈吸引，不过他不久就在数学中找到了更迷人的吸引力，这对科学是幸运的。高斯在进大学时已熟练掌握了拉丁文，他的许多最伟大的著作都是用拉丁文写的。
高斯在卡罗林学院学习了三年，在这期间他掌握了欧拉、拉格朗日较为重要的著作，而最重要的是牛顿的《原理》。一个伟大人物所能得到的最高赞扬，是从与他同一等级的另一个伟大人物那里得到的赞扬。高斯作为一个 17 岁的少年，从来没有低估牛顿的功绩。其他人 —— 欧拉、拉普拉斯、拉格朗日、勒让德 —— 出现在高斯的拉丁文中的称赞是 "辉煌的"；而牛顿则是 "最高的"。
还在卡罗林学院时，高斯就开始了他对高等算术的研究，这些研究后来使他流芳百世。他那非凡的计算能力起到了关键的作用。他直接探究数本身，用它们做实验，利用归纳法发现了一些深奥的一般定理，这些定理，甚至他也要费一番气力才能证出来。用这种方法，他重新发现了 " 算术的瑰宝”，“黄金定理”，欧拉也曾用归纳法发现过它，人们把它叫做二次互反律，高斯是第一个证明它的人。
整个研究起源于一个许多算术初学者都会向自己提出的简单问题：在循环小数的每一周期中有多少数字？高斯为了找到说明这个问题的线索，对 n 从 1 到 1000 计算了所有的分数 1 / n 的小数表示。他发现了伟大得无与伦比的东西 —— 二次互反律。因为陈述很简单，我们将描述它，同时介绍高斯发明的、在算术的术语和记号中的一个革命性改进，同余。下面涉及的所有的数都是整数。
如果两个数 a，b 之差（a-b 或 b-a）可以用数 m 整除，我们就说 a，b 相对于模 m 同余，或者简称为同余于模 m，我们用 a≡b（mod m）的符号表示它。这样，100≡2（mod7），35≡2（mod11）。
这个方法的优点在于，它使我们想起了写代数方程的方法。用一种简洁的记号表示算术的可除性，让我们把在代数中导致有趣结果的某些方法，引进算术中。例如，我们能够把一些方程相“加”，我们发现倘若模都是相同的，同余式也能 "加" 起来，得到另外一些同余式。
设 x 表示一个未知数，r 和 m 表示给定的数，r 不能被 m 整除。是否有一个 x 使得
如果有，r 就称作一个 m 的二次剩余，如果没有，r 就称作一个 m 的二次非剩余。
如果 r 是 m 的二次剩余，那么必定能够找到至少一个 x，其平方被 m 除余 r；如果 r 是 m 的二次非剩余，那么就没有其平方被 m 除余 r 的 x。这些就是上面定义的直接结论。
举例说明：13 是 17 的二次剩余吗？如果是，必须能够找到同余。
用 1，2，3，… 去试，我们发现 x=8，25，42，59，… 都是解，所以 13 是 17 的一个二次剩余。但是 x^2=5（mod17）没有解，所以 5 是 17 的一个二次非剩余。
现在自然要问，一个给定的 m 的二次剩余和二次非剩余是些什么呢？也就是说，在 x^2≡r（modm）中给定 m，当 x 取所有的数 1，2，3，… 时，什么样的数 r 能够出现，什么样的数 r 不能出现呢？
不用费太大力气就能表明，要回答这个问题，限定 r 和 m 都是素数就足够了。所以我们重新说明这个问题：如果 p 是一个给定的素数，什么样的素数 q 能使同余 x^2≡q（mod p）可解呢？在算术的目前状态下，这要求得太多了。不过，这种情形并不是毫无希望的。
在下面这对同余式中存在着美妙的 "互反"，
其中 p 和 q 都是素数：如果 q≡1 mod 4，那么同余 x^2≡p mod q 是可解的当且仅当 x^2≡ q mod p 是可解的。如果 q≡3 mod 4 和 p ≡ 3mod 4，那么同余 x^2= p mod q 是可解的当且仅当 x^2≡-q mod p 是可以解决的。
它是不容易证明的，事实上，它曾使欧拉和勒让德困惑过，高斯则在 19 岁时给出了第一个证明。由于这个互反律在高等算术以及代数的许多高深部分中非常重要，高斯试图找到它的根源。他反复考虑了许多年，直到他一共给出了 6 种不同的证明，其中有一种取决于正多边形的尺规作图。
高斯在 1795 年 10 月他 18 岁时，离开卡罗林学院，进了哥廷根大学，那时他仍然没有决定是以数学还是以哲学作为他毕生的事业。他已经发现了（18 岁时）“最小二乘”法，这个方法今天在大地测量学、在观测的简化、在实际上要从大量测量结果推导出最可能值的所有工作中，都是不可或缺的。高斯与勒让德共享这一荣誉，勒让德在 1806 年独立发表了这个方法。这项工作是高斯对观测误差理论感兴趣的开始。误差正态分布的高斯规律，以及和它一起的钟形曲线是统计学中不可或缺的。
转折
1796 年 3 月 30 日标志着高斯一生的一个转折点，在那一天，距他 20 岁生日正好一个月，高斯明确地决定了从事数学。学习语言仍然是他终生保持的一项爱好，但是哲学在 3 月的这个难忘的一天，永远失去了高斯。
同一天高斯开始记他的科学日记，这些日记是数学史上最宝贵的文件之一。第一篇记录了他的伟大发现。只是到了 1898 年，高斯去世后 43 年，这本日记才在科学界传播，当时哥廷根皇家科学院从高斯的一个孙子手里借来这本日记，进行鉴定研究。高斯在 1796 年至 1814 年这段多产期间的所有发现并没有被全部记录下来。但是许多匆匆忙忙记下来的点滴，足以确立高斯在这样一些领域 —— 例如椭圆函数 —— 中的领先地位。
有几则日记表明，日记完全是它的作者的私事。如 1796 年 7 月 10 日的日记上，记着
翻译过来，这是模仿阿基米德欢呼“Eureka（找到了）！”它说明每一个正整数都是三个三角形数的和，一个三角形数是数列 0，1，3，6，10，15，… 中的一个，其中（0 以后的）每一个都具有 1/2n（n+1）这个形式，n 是任意正整数。另一种说法是，每一个形式为 8n+3 的数都是三个奇数平方的和：
要想证明它是不容易的。
更难理解的是 1796 年 10 月 11 日的日记中神秘的一则，"Vicimus GE-GAN"。这次高斯缚住了什么样的怪龙呢？再有，1799 年 4 月 8 日，他用整齐的方框圈起 REV.GALEN 时，他征服了什么样的巨人呢？虽然这些东西的意义已经永远失去了，但是留下来的那 144 个，大多数是够清楚的。特别是有一个具有头等的重要性：1797 年 3 月 19 日的日记表明，高斯已经发现一些椭圆函数的双周期性。他那时还不到 20 岁。再有，一则较晚的日记表明，高斯已经看出了一般情形的双周期性。要是他发表这个结果，就足以使他名声显赫。但是他从来没有发表它
为什么高斯没有披露他的伟大发现呢？高斯说，他从事科学著作，只是出于他天性的最深层的激励，至于这些著作是否要为其他人而出版，对他来说，完全是次要的事情。高斯有一次对一位朋友说的另一番话，解释了他的日记和他迟迟不发表的原因。他说，在他 26 岁以前，有那样一堆势不可挡的新思想在他脑海中翻腾，以致他几乎无法控制它们，他的时间只来得及记录下来一小部分。这本日记只包含一些曾经使他煞费苦心地思考了好几个星期的研究成果的最后的简短说明。
高斯认为自己留下来的都应该是完美的艺术品，增一分则多，减一分则少。他说，一座大教堂在最后的脚手架拆除和挪走之前，还算不上是一座大教堂。高斯抱着这样的理想工作，他宁肯三番五次地琢磨修饰一篇杰作，也不愿发表他很容易就能写出来的许多杰作的概要。他的座右铭
Pauca sed matura（少些，但是要成熟）。
结果，他的一些著作必须等待很有天赋的解释者作出解释后，一般的数学家才能够理解它们，并向前迈进。他的同代人请求他放宽他那僵硬无情的完美，以便数学可以前进得更快些。但是高斯从没有放宽。直到他去世以后很久，人们才知道，有多少 19 世纪的数学，高斯在 1800 年以前就已经预见并领先了。要是他公布了他知道的结论，那么，很可能目前的数学要比现在的状况前进了半个世纪或者更多。阿贝尔和雅可比就能够在高斯停下来的地方开始，而不必把他们大部分最好的精力用在重新发现高斯早在他们出生以前就知道的东西上了，非欧几何的创造者们就能够把他们的天才转到其他事情上了。
谈到他自己，高斯说他 "只是一个数学家"，这对他是不公正的，他的第二个座右铭
大自然，你是我的女神，我愿意在你的定律面前俯首听命……
真正概括了他献身于他那个时代的数学和物理科学的一生。
在哥廷根大学的 3 年是高斯一生中著述最多的时期（1795——1798）。他从 1795 年起就一直在构思一部关于数论的伟大著作。到 1798 年，这部《算术研究》实际上完成了。期间他还结识了两位数学家沃尔夫冈・鲍耶和约翰・弗里德里希・普法夫（当时德国最著名的数学家）。
在叙述《算术研究》之前，我们要看一下高斯的博士论文，《每一个单变量的有理整函数都能分解成一阶或二阶实因子的一个新证明》。
这篇论文所证明的就是我们现在所说的，代数基本定理。高斯证明了任何代数方程的所有的根都是形式为 a＋bi 的数，i 是虚数。这种新类型的 "数"a＋bi 叫复数。
"虚数" 这个词是代数最大的灾难，但是由于它早已得到公认，数学家们无法取消它。其实根本就不该用它。很多数学书籍用旋转给虚数作了一个简单的解释。把 i×c（c 是实数）解释成线段 Oc 绕 0 点旋转一个直角，Oc 就旋转到 OY 上；再用 i 去乘一次，即 i×i×c，把 Oc 再旋转一个直角，这样总的效果就是把 Oc 旋转了两个直角，致使 + Oc 成了-Oc。作为一种运算，用 i×i 去乘的乘积与用-1 去乘的乘积有同样的效果，用 i 去乘的乘积与旋转一个直角有同样的效果。
高斯认为，每一个代数方程有一个根的定理非常重要，因而他给出了 4 种明确的证明，最后一个证明是在他 70 岁时给出的。今天，一些人会把这个定理从代数转移到分析。甚至高斯也假定多项式的图形是连续曲线，而且如果多项式是奇次的，图形一定至少与坐标轴相交一次。对于任何一个初学代数的人，这都是显然的。但是在今天，没有证明它就不是显然的，而要试图证明它，又一次出现了与连续和无穷有关的那些困难。就像 x^2-2=0 这样简单的方程的根，也不能在任何有限步内精确地计算出来。
《算术研究》是高斯的第一部杰作，一些人认为是他最伟大的杰作。在这之后，他就不再把数学作为唯一的兴趣了。当该著作在 1801 年（高斯那时是 24 岁）出版之后，他把他的活动范围扩大到天文学、大地测量学、电磁学等领域中的数学和实用两个方面。他在后期感到后悔的是一直没有抽出时间来写出他年轻时计划写的第二卷。这本书有 7 节。
前言的第一句描述了这本书涉及的大致范围。
这本著作中包含的研究结果，是属于涉及整数和分数的那部分数学，无理数除外。
前 3 节论述同余式理论，特别详尽地讨论了二项同余式
这个精彩的算术理论，与相应的二项方程 x^n=A 的代数理论有许多相似之处，但是它独特的算术部分，比之与算术毫无相似之处的代数，更是无与伦比地丰富和困难。
在第 4 节，高斯发展了二次剩余的理论。在这里可以找到二次互反律的第一个发表了的证明。证明是令人惊奇地用数学归纳法得出的，是在任何地方都能找到的那种巧妙的逻辑的一个极好的例证。
第 5 节一开始从算术的观点讨论二元二次形式，接着又讨论了三元二次形式，并发现它对完成二元理论是必不可少的。二次互反律在这些困难的计划中起了十分重要的作用。对于所说的第一种形式，一般的问题是要讨论不定方程
的关于 x，y 的整数解，其中 a，b，c，m 是任意给定的整数；对第二种形式，研究的主题是方程
的整数解 x，y，z，其中 a，b，c，d，e，f，m 是给定的整数。这个领域中的一个看起来容易、实际上困难的问题，是要给 a，c，f，m 施加能够保证不定方程
的整数解 x，y，z 存在的充分必要的限制。
第 6 节把前面的理论应用到各种各样的特殊情形，例如 mx^2+ny^2=A 的整数解 x，y，其中 m，n，A 是任给的整数。
这部著作的顶峰是第 7 节，高斯应用前面的发展，特别是二次同余理论，精彩地讨论了代数方程 x^n+1，其中 n 是任意给定的整数，从而把算术、代数和几何一起编织成了一幅完美的图案。方程 x^n=1 是画正 n 边形，或者 n 等分圆周的几何问题的代数公式；算术的同余 x^m≡1（mod p），是贯穿代数和几何，并给这个图案以简单意义的线索。
以前有些人 —— 费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和其他一些人，用其他方法做过所有这一切中的许多部分，但是高斯完全从他个人的观点进行讨论，添加了许多他自己的东西，并从他对有关问题的一般公式和解答，推出了他的前辈们得出的许多孤立的结果。例如，费马用他的 "无穷下降" 的方法，证明了每一个形为 4n＋1 的素数是两个数的平方和，并且表示成这种和的方式只有一种；他的这个美妙的结论，是高斯对二元二次形式的一般论述的自然结果。
高斯晚年时说，"《算术研究》已经成为历史"。《算术研究》的出版给高等算术提出了一个新方向，这样，在 17 世纪和 18 世纪是一堆五花八门、互不相干的特殊结果的数论，现采用了统一的形式，上升到在数学科学中与代数、分析和几何同等的地位。
高斯的学生狄利克雷有一个令人惊奇的定理，即每一个算数级数
包含着无穷多个素数，其中 a，b 是没有比 1 大的公因子的整数。这是由分析证明的，这一点本身就是一个奇迹，因为定理考虑整数，而分析论述连续的非整数。
我们可能要问，高斯为什么他从来没有去解决费马大定理。他自己作了回答：
我对作为一个孤立命题的费马定理，实在没有什么兴趣，因为我可以很轻易地提出一大堆这样的既不能证明其成立，又不能证明其不成立的命题。
高斯接着说，这个问题使他回想起了他对高等算术进行伟大扩展的一些原有想法。这无疑是指库默尔、戴德金和克罗内克后来将要各自独立发展起来的代数数的理论。
谷神星
高斯一生的第二个伟大的阶段开始于 19 世纪的第一天，这一天也是哲学史和天文学史上用红字标明的一天。自从 1781 年威廉・赫歇尔爵士发现了天王星，因而把那时已知的行星数目增加到哲学上令人满意的 7 个以来，天文学家们一直孜孜不倦地搜索太空，寻找太阳家族的其他一些成员。按照波得定律，它们应该存在于火星和木星的轨道之间。搜索一直毫无结果，直到朱塞佩・皮亚齐在 19 世纪的第一天，观察到他一开始误认为是一个正接近太阳的小彗星的天体，但是它不久就被认出是一颗新的行星 —— 后来命名为谷神星，今天所知道的一大群很小的行星中的第一颗。
谷神星的发现和著名哲学家弗里德里希・黑格尔发表对寻找第八颗行星的天文学家的讽刺性攻击，正好在同一时候。黑格尔断言，要是他们稍稍注意一下哲学，立刻就会明白，只能有七颗行星，不多也不少。
1844 年 11 月 1 日高斯写信给他的朋友舒马赫说：
你在当代哲学家谢林、黑格尔、内斯・冯・埃森贝克和他们的追随者身上看到同样的东西（数学上的无能）；读读古代哲学史中当时的大人物 —— 柏拉图和其他人（我把亚里士多德除外）—— 在解释方面所用的方法。但是甚至就康德本人来说，常常也好不了多少。我认为他对分析命题与综合命题所作的区分，要么是平凡不足道的，要么是错误的。
高斯在写这封信时已经充分掌握了非欧几何，非欧几何本身就足以驳倒康德关于 " 空间”和几何的说法。决不能因为有关纯数学的术语的这个孤立的例子，就认为高斯不了解哲学。他了解。一切哲学上的进展对他都有着极大的魅力，尽管他常常不赞成取得这些进展所使用的方法。他曾经说过，
有些问题，例如令人感动的伦理学，或我们与上帝的关系，或关于我们的命运和我们的未来的问题，我对这些问题的解答，比对数学问题的解答重视得多；但是这些问题完全不是我们能够解答的，也完全不是科学范围内的事。
谷神星对于数学是一个灾难。要了解高斯为什么要那样极严肃认真地对待它，我们必须记住，在 1801 年，牛顿的庞大形象（已去世 70 多年）仍然给数学蒙着阴影。当代的“大”数学家们，是那些孜孜不倦地完成牛顿的天体力学大厦的人，如拉普拉斯。数学依然被当做数理物理学。阿基米德在公元前 3 世纪所看出的数学作为一门独立学科的幻象，已经在牛顿的光辉照耀下消失了。直到年轻的高斯再次抓住这个幻象，数学才被承认是一门独立的科学。正当他将要成为数学王国的未经耕耘的荒野上，开始紧张地工作的时候，小行星谷神星，在他 24 岁时吸引了他无与伦比的智慧。
一颗新的行星，在它极难观测到的位置被发现了。要从能够得到的少得可怜的数据，计算出行星的轨道，这项工作就是拉普拉斯本人也会感到困难。牛顿曾经宣称，这种问题属于数理天文学中最困难的问题。需要确立一条轨道，其精确度要足以保证谷神星在环绕太阳旋转时能用望远镜观察到，光是确立这条轨道所需要的算术，就很可能难倒今天的计算机。
高斯，这位空前的数学之神，在他的日记里描述的那些隐约闪现的、难以捉摸的东西。谷神星被重新发现了，恰恰是在年轻的高斯经过极其巧妙和详细的计算，预计一定会找到它的地方发现的。欧拉需要三天时间才能完成的计算（据说正是这种计算使他双目失明），高斯只需要几小时。将近 20 年间，他自己的大部分时间都花在天文学计算上了。
但是甚至这样使人变得迟钝而乏味的工作，也不能磨灭高斯的创造天才。1809 年他发表了他的第二部杰作《天体沿圆锥截线绕日运动的理论》，这部著作根据观测得到的数据，包括困难的摄动分析，对确定行星和彗星轨道作了详尽的讨论，制定了在以后许多年中支配计算天文学和实用天文学的规律。
1807 年，高斯被任命为哥廷根天文台台长。哥廷根天文台在当时能够付给高斯的薪俸不多，但是足够满足高斯和他家庭的简单需要。正如他的朋友冯・瓦尔特肖森所写的：
正如他年轻的时候一样，在他整个老年时代，直到他辞世的那天，始终保持为一个简朴的高斯。一间小书房，一张铺着绿色台布的小小的工作台，一张漆成白色的必备的书桌，一张单人沙发，在他 70 岁以后，又有一把扶手椅，一个带灯罩的灯，一间没有生火的卧室，简单的饮食，一件晨衣和一顶天鹅绒的便帽，这些就足以满足他的全部需要了。
解析函数
如果高斯公开了他向贝塞尔吐露的一项发现，那么 1811 年可能就是可以与 1801 年（《算术研究》出版的那一年）相比的数学上的里程碑了。高斯已经完全弄懂了复数和它们作为解析几何平面上的点的几何表示，他向自己提出了研究这种数的、今天称为解析函数的问题。
复数 z=x＋iy。当 x，y 以任何指定的连续方式各自取实值时，点 z 就在平面上移动。当给 z 指定一个值时，取任何一个包含 z 的单值表达式，诸如 z 或 1 / z 等等，称为 z 的一个单值函数。我们用 f（z）表示这样一个函数。于是，如果 f（z）是特定的函数 z，使得
那么显然当给 z 指定任何值，例如 x=2，y=3，这个 f（z）就因此确切地决定了一个值，z=-5＋12i。
并不是所有的单值函数 f（z）都要在单复变量函数的理论中进行研究；只是单演函数被挑选出来进行详尽的讨论。
让 z 移动到另一个位置 z'。函数 f（z）取另一个值 f（x'），由 x' 代替得到。现在用变量的新值和旧值之差去除函数的新值和旧值之差 f（z’）-f（z），这样就有
正像在计算一个图形的斜率以找出图形所表示的函数的导数时做的那样，这里我们让 z' 无限接近 z，从而 f（z'）同时接近 f（z）。但是此处出现了一个值得注意的新现象。
x' 怎样移动到与 z 重合，在这里没有一条统一的途径，因为 z' 在与 z 重合之前，可以经由无限多个不同的路径，在复数平面上移动。我们无法指望当 z' 与 z 重合时，（f（z'）-f（z））/（z'-z）对所有这些路径的极限值都一样，一般说来是不一样的。
但是如果 f（z）使得刚刚描述过的极限值，对 z' 移动到与 z 重合时所经过的所有路径都是一样的，那么就说 f（z）在 z（或者在代表 z 的点）是单演的。
一致性和单演性是单复变量解析函数的特殊的特征。
流体运动理论的广阔领域，是由单变量解析函数处理的，由这个事实能够推断出解析函数的一些重要意义。假定这样一个函数 f（z）被分成 "实" 部和 "虚" 部，比如说 f（z）=U＋iV。对于特殊的解析函数 z^2，我们有
想象一个在平面上流动的流体层。如果流体的运动没有涡流，运动的流线就可以通过画出曲线 U=a，其中 a 是任意的实数，由某个解析函数 f（z）得到，同样可以由 V=b 得到等位线。让 a，b 变动，我们就得到一个完整的运动图形，其区域我们想要多大就有多大。对于一个给定的情形，比如说围绕着一个障碍物流动的流体的情形，问题的困难部分在于选择什么样的解析函数。这样整个事情就倒了过来：研究一些简单的函数，寻找它们适合的物理问题。非常奇怪的是，这些人为准备的问题，有许多被证明在空气动力学和流体运动理论的其他实际应用中是最有用的。
单复变量解析函数的理论，是 19 世纪数学取得成功的最伟大的领域之一。高斯在给贝塞尔的信中，说明了这个理论中的基本定理有多么重要，但是他没有公开它，而留待柯西和后来的魏尔斯特拉斯去重新发现。由于这是数学分析史上的一个里程碑，我们要简单地描述它。
想象单复变量 z 在一个没有扭结的有限长的闭曲线上移动。在曲线上标出 n 个点 P1，P2，…，Pn。使得 P1P2，P2P3，P3P4，…，PnP1 的每一段都不超过某个预先指定的有限长度 l。在每一个这样的线段上，选一个不在线段的两端的点；对相应于该点的 z 的值，形成 f（z）的值；把这个值与点所在的线段的长度相乘。对于所有的段都这样做，再把结果加起来。最后当段的数目无限增加时，取这个和的极限值。这给出了 f（z）对于曲线的 " 线积分”。
这个线积分何时为零呢？为了使线积分为零，充分的条件是 f（z）是在曲线上和曲线内的每一点 z 都解析（一致和单演）。
超越几何级数
这就是高斯在 1811 年告诉贝塞尔的伟大定理，它和同一类型的另一个定理，在独立地重新发现它的柯西手里，将以推论的形式产生分析学中的许多重要结果。
1812 年，拿破仑的大军拼命地挣扎着进行穿越冰冻平原的后卫战斗，也正是在这一年，高斯发表了另一项伟大的工作，这是关于超越几何级数
的工作，其中虚点表示级数按照所示的规律无限继续下去，下一项是
这个研究报告是另一个里程碑。正如已经指出的，高斯是现代第一个严格主义者。在这项工作中，为了使这个级数收敛，必须给 a，b，c，x 加以一些限制。它作为特殊情形，包括了分析中的许多重要的级数，例如，用于在牛顿天文学和数理物理学中反复出现的对数、三角函数和其他一些函数的计算和造表中的级数；广义的二项式定理也是一个特例。通过研究这个级数的一般形式，高斯一举解决了许多问题。从这项工作中，发展出了对 19 世纪物理学中的微分方程的许多应用。
虽然由于篇幅所限，无法讨论高斯对纯数学所作贡献的许多例子，但是甚至在最简单的概述中，有一个例子也是不容忽视的，这就是关于双二次互反律这项工作。它的重要性在于，它给高等算术提供了一个完全出人意料的新方向。
既然已经解决了二次互反的问题，高斯考虑任何次数的二项同余式的一般问题就是很自然的了。设 m 是一个给定的、不能用素数 p 整除的整数，且设 n 是一个已知的正整数，如果还能找到一个整数 x，使得
那么就称 m 为 p 的一个 n 次剩余；当 n=4 时，m 就是 p 的一个双二次剩余。
二次二项同余（n=2）的情形，对 n 超过 2 时几乎没有什么提示。高斯要讨论这些高次同余，研究相应的互反律，即 x^n≡p（mod q），x^n≡q（mod p）之间（关于可解或不可解）的相互关系。特别是 n=3，n=4 的情形是要研究的。
1825 年的论文开辟了新天地。在经过多次无法忍受的错误之后，高斯发现，有理整数，1，2，3，… 不适宜于双二次互反律的论述；必须发明一类全新的整数。这些被称为高斯复数，是所有那些形式为 a＋bi 的复数，其中 a，b 是有理数。为了说明双二次互反律，必须对这些复整数的算术可除性规律作详尽的初步讨论。高斯作了这样的讨论，因而开始了代数数的理论。对于三次互反（n=3），他也用同样的方式发现了正确的途径。
高斯最喜爱的弟子爱森斯坦解决了三次互反问题。他还发现了双二次互反律和椭圆函数理论的某些部分之间令人惊奇的联系，高斯在这方面作过深入的研究。
高斯还在几何和数学对大地测量学、牛顿引力理论和电磁学的应用方面，取得了同等重要的进展。一个人怎么可能完成这样大量的最高水平的工作呢？高斯说，"如果其他人也像我这样思考数学真理，也像我这样深入，这样持久，那么，他们也能作出我所作出的这些发现。"
高斯不由自主地专注于数学思想。他在和朋友们谈话的时候，会突然沉默下来，沉浸在他无法控制的思想中，一动不动地站在那里，茫然地凝视着周围的一切。过后他控制住了自己的思想，有意识地把他的全部力量用于解决一个困难问题，直到成功为止。他一旦抓住一个问题，在征服它之前是不会放手的，尽管他可能会同时专注于几个问题。
他在一个这样的例子中，讲述了他怎样在长达 4 年之久的时间里，几乎没有一个星期不花一些时间去试着解决一个确定的符号是正还是负，最后答案突然自己出现了。高斯经常在花费了几天或几个星期毫无结果地从事某项研究之后，在经过了一个不眠之夜继续工作时，发现障碍消失了，全部解答清楚地闪现在他的脑海中。紧张而持久地集中精力的能力，是他过人之处之一。
这种在自己思考的世界中忘掉自己的能力，高斯与阿基米德、牛顿是相似的。在另外两个方面，他也和他们不相上下：他具有精密观察的天赋和科学独创能力。这些才干，使他能够设计出他的科学研究所必需的仪器。大地测量学中的回照器就归功于高斯，这是一个巧妙的装置，信号可以利用反射光即刻实地传播出去。回照器在当时是一大进步。在高斯手里，他所用的天文仪器也得到了显著的改进。为了用于他对电磁学的重要研究，高斯发明了双线磁强计。最后，他在 1833 年发明了电报，并和与他一起工作的威廉・韦伯把它用来传送消息。数学天才与第一流的实验才能的结合，是全部科学中一种极为罕见的情形。
高斯本人极少关心他的发明可能有的实际用途。他像阿基米德一样，宁要数学，也不要地上的全部王国。但是，韦伯清楚地看到了哥廷根的这个小小的电报对文明意味着什么。我们记得铁路在 19 世纪 30 年代初刚刚出现，韦伯在 1835 年就预言，"当全球都覆盖上一张铁路和电报的网时，这张网所提供的服务，就可以与人体神经系统的作用相当了，部分作为运输的方法，部分作为以闪电的速度传播思想和大事件的方法。"
高斯与勒让德
有一次经历使勒让德成为高斯终身的敌人。高斯在他的《天体运动理论》中曾经提到他很早发现的最小二乘法。勒让德在高斯之前，于 1806 年发表了这个方法。他怀着极大的愤怒写信给高斯，实际上是指责他不诚实，并抱怨说高斯有那么丰富的发现，原可以顾及体面，不必盗用最小二乘法 —— 勒让德视之为他自己最珍爱的东西。拉普拉斯加入了这场争吵。他没有说他是否相信高斯所肯定的确实比勒让德领先 10 年或者更早，但是他保持他一向温文尔雅的态度。
高斯显然不屑于就这件事再争论下去。但是他在给一个朋友的信中指出了证据，要是高斯不是那么“傲慢而不屑于争吵”，这个证据当时就可以结束这场争论。他说："我在 1802 年就把这整个问题告诉奥伯斯了。" 而如果勒让德对此有所怀疑，他本可以问问奥伯斯，奥伯斯手上有手稿。
这次争论对数学后来的发展是非常不利的，因为勒让德把他没有根据的怀疑告诉了雅可比，这样就阻止了雅克比与高斯建立起亲密的关系。在这场误会中尤其令人遗憾的是，勒让德是一个品德高尚的人，他本人是极为公正的。他命中注定要在一些领域里被比他富于想象力的数学家超过，他漫长而勤劳的一生，大部分都花费在这些领域中，而他的辛劳被年轻人 —— 高斯、阿贝尔和雅可比 —— 证明是多余的。高斯每一步都走在勒让德前面。然而当勒让德指责高斯做事不公正时，高斯感到他本人陷入了困境。他写信给舒马赫，埋怨说，
看来我是命中注定，几乎在我所有的理论工作中都与勒让德撞车。在高等算术中，在与椭圆求长法（寻找曲线的弧长过程）有关的超越函数的研究中，在几何基础中，都是这样，而现在，在最小二乘法中，…… 也用在勒让德的工作中，而且确实用得很漂亮。
高斯令人诟病的地方是，对于别人的伟大工作，特别是比较年轻的人的工作，缺乏热诚。当柯西开始发表他在单复变量函数理论中的光辉发现时，高斯对它们置若罔闻，高斯没有对柯西说一句赞扬或鼓励的话，因为高斯本人在柯西开始这项工作以前很多年，就已达到了这个问题的核心。还有，当哈密顿关于四元数的著作在 1852 年引起他的注意时，他什么也没有说，因为这个问题的关键早已记在他 30 多年前的笔记中了。他保持沉默，没有提出他的优先权。正如对他在单复变量函数理论、椭圆函数和非欧几何中的领先地位一样，高斯满足于做了这些工作。
其他伟大贡献
要阐述高斯对数学、纯数学和应用数学的全部突出的贡献，需要写一本很厚的书。这里我们只能考虑一些还没有提到的、比较重要的工作，我们将选择那些给数学增添了新方法，或者圆满解决了突出问题的工作。从粗略然而方便的时间表中，我们概括了高斯在 1800 年以后感兴趣的主要领域如下：
1800——1820 年，天文学；
1820——1830 年，测地学、曲面理论、保角映射；
1830—1840 年，数理物理学，特别是电磁学、地磁学，以及基于牛顿定律的引力理论；
1841——1855 年，拓扑学、与单复变量函数相联系的几何。
1821——1848 年，高斯是汉诺威和丹麦政府大规模测地勘测的科学顾问。高斯积极投身于这项工作。他的最小二乘法和他在设计处理大量数值数据的格式方面的技巧，有了充分发挥的机会，但更重要的是，在精确测量一部分大地曲面中出现的问题，无疑提出了与所有曲面有关的更深刻、更一般的问题。这些研究将引出相对论的数学。高斯的几位前辈，特别是欧拉、拉格朗日和蒙日，已经研究过关于某些类型的曲面几何，但是它仍然有待于高斯去解决全部一般性的问题，从他的研究中产生了微分几何的第一个伟大的时期。
微分几何可以被粗略地描述为在一个点的邻近处（近到使距离的高于二次的幂可被省略）对曲线、曲面等等性质的研究。黎曼受到这项工作的启发，在 1854 年写出了构成几何基础的假设的经典论文，接着开始了微分几何的第二个伟大时期，今天它被应用于数理物理学，特别是广义相对论中。
高斯在他的关于曲面的著作中考虑了三个问题，提出了对数学和科学具有重要意义的理论，这三个问题是曲率的测量、保角表示（即映射）和曲面的可贴性。
"弯曲的" 时空，是对一个用四个坐标而不是用两个坐标描述的 "空间”中通常可见的曲率的纯数学的扩展，这种并不神秘的推广是高斯关于曲面的工作的自然发展。他的一个定义说明了这一切的合理性。问题是要设想一些精确的方法，来描述曲面的" 曲率 "怎样从曲面的一个点变到另一个点；这种描述必须附合我们对于" 弯曲得多 "和" 弯曲得不多 " 的直观感觉。
由一个没有扭结的闭合曲线 C 围成的曲面，其任何部分的全曲率是如下定义的。曲面在给定点的法线是通过该点的直线，它垂直于在给定点与曲面相切的平面。C 的每一个点处有一根曲面的法线。想象所有这些画出来的法线。现在，想象一个球，其半径为单位长度，从该球的中心，画出所有平行于 C 的法线的射线。这些射线将在单位半径的球上交出一条曲线，比如说 C'。球面上由 C' 所围的那一部分的面积，就定义为给定曲面上由 C 围出的那一部分的全曲率。稍微想象一下就会看出，这个定义与所要求的普通概念是一致的。
高斯在曲面研究中开拓的另一个基本概念是参数表示。
表示平面上的一个特殊点，要求两个坐标。在球面或像地球那样的球体上也一样：在这种情形下坐标可以被想象为经度和纬度。这说明了二维流形意味着什么。一般说来，如果要具体表示一类东西（点、声音、颜色、线）中的每一个特殊成员（使其个性化），恰好 n 个数是充分且必要的，那么就说这个类是一个 n 维流形。在这样的表示中，人们同意，只给该类成员的某些特征指定数。例如，如果我们只考虑声音的音高，我们就有一个一维流形，因为一个数，即声音的振动频率，就足以决定音高；如果我们加上音量，声音现在就是一个二维流形了，等等。如果我们现在把曲面看成是由点构成的，我们就看出它是一个（点的）二维流形。我们发现，用几何的语言把任何二维流形说成 "曲面"，并把几何推理用于流形 —— 希望发现一些有趣的东西 —— 是很方便的。
上述考虑导致了曲面的参数表示。在笛卡儿的几何中，三个坐标之间的一个方程表示一个曲面。设（笛卡儿）坐标是 x，y，z。我们现在用三个方程代替 x，y，z 的单独一个方程来表示曲面：
其中 f（u，v），g（u，v），h（u，v）是新变量 u，v 的函数，当这些变量被消去时，就得到 x，y，z 的曲面方程。u，v 称为曲面的参数，三个方程 x=f（u，v），y=g（u，v），z=h（u，v）称为曲面的参数方程。这种表示曲面的方法当用于研究点与点之间变化很快的曲面的曲率和其他性质时，要比笛卡儿方法优越得多。
注意，参数表示是内蕴的；它的坐标参照曲面本身，而不是像笛卡儿方法那样，参照一组外在的与曲面无关的轴。还应该注意到两个参数 u，v 直接表明曲面的二维性质。地球上的经度与纬度是这些内在的、"自然" 坐标的例子。
这个方法的另一个优点是，它很容易推广到任意维数的空间。只要增加参数的数目，像前面那样做就足够了。这些简单的想法导致了毕达哥拉斯和欧几里得的度量几何的推广。这个推广的基础是由高斯奠定的，但是它们对于数学和物理科学的重要意义，直到 20 世纪才受到充分重视。
大地测量学的研究还向高斯提示了几何学中另一个有力的方法，即保角映射方法的发展。保持角度的映射称为保角映射。在这样的映射中，单复变量解析函数理论是最有用的工具。保角映射的整个课题经常用于数理物理学及其应用，例如静电学、流体力学和它的分支空气动力学，在最后这个学科中，它在机翼理论中起了重要作用。
高斯一向仔细耕耘并取得成功的另一个几何学领域，是曲面的可贴性，它要求决定什么样的曲面能够不拉伸、不撕裂、弯曲地贴到另一个给定的曲面上。在这里，高斯发明的方法又是具有普遍性的，并具有广泛的用途。
高斯还对科学的其他领域进行了重要研究，例如对电磁学（包括地磁学），毛细现象，引力规律中椭球体（行星是特殊类型的椭球体）之间的吸引力，以及屈光学，特别是关于透镜组的屈光学等的数学理论，都作出了重要的研究。最后这个部门给他提供了一个应用他的纯抽象方法（连分式）的机会，这个方法是他在年轻时为了满足对数论的好奇心而发展起来的。
高斯不仅把所有这些东西极端地数学化了，他还善于用他的双手和双眼将数学应用于其他学科。他发现的许多特殊的定理，特别是他在电磁学和引力理论的研究中发现的定理，成了所有在物理科学方面的人们必不可少的工具。高斯在他的朋友韦伯的帮助下，为所有的电磁现象寻找一个满意的理论达许多年之久。由于没有找到他认为满意的理论，他放弃了这项尝试。如果他发现了电磁领域中的克拉克・麦克斯韦方程，他可能就满意了。
最后，我们必须提及拓扑学，关于这个学科他除了在 1799 年他的论文中顺便提了一下以外，什么也没有发表，但是他预言它将成为数学中一个备受关注的主要课题。
高斯的最后几年荣誉满身，但是他并没有得到他有权享受的幸福。在他去世前几个月，当那致命的疾病显露出最初的症状时，高斯仍然像他过去那样思想敏捷活跃，有着丰富的创造力。然而他只要能工作就工作，尽管他的手痉挛，他那优美清晰的书写最后难于辨认了。他写的最后一封信是给戴维・布鲁斯特爵士的，谈到电报的发明。
他几乎一直到最后都是清醒的，经过一番要活下去的努力挣扎以后，他在 1855 年 2 月 23 日凌晨安详地去世，享年 78 岁。他活在数学的每一个地方。
本文来自微信公众号：老胡说科学 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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