57 天，人类和 AI 合作搞定了 4694 个等式之间 22028942 个蕴含关系！
大神陶哲轩激动宣布：等式理论计划，成功。
“等式理论计划”，由陶哲轩本人在 2024 年 9 月 25 日发起，目的是探索按蕴含关系排序的原群（magma）等式理论空间。
特别的是，在这个项目里，陶哲轩不仅集合了人类数学家的力量，还把 AI 工具纳入了合作者的范围，包括 ChatGPT、Claude 和 GitHub Copilot。
项目发起当日就正式启动，仅仅 9 天，项目进度就达到了 99.866%。
而现在，在 2200 万 + 个需要证明的蕴含关系中，8178279 个已被证实，13855193 个已被证伪，仅有 162 个还悬而未决。
按陶哲轩的说法，就是离“宣布完全成功”基本只是“时间问题”：
因此，我们现在已经开始着手撰写论文了。
什么是“等式理论计划”
还是先来扒一扒陶哲轩这回究竟是整了个什么样的活儿。
简单说，“等式理论计划”是指：
采用”数学家 + AI（包括自动定理证明系统和大模型）+ 证明辅助语言 Lean”这样的协作方式，构建一个展示 4694 个 magma 等式（最多四次使用 magma 操作）之间所有蕴含关系的“蕴含图”。
首先，这个计划的最初灵感源于陶哲轩本人对“去中心化”研究方式的畅想。
传统上，大部分数学研究项目都由少数专业数学家（通常 1~5 名）进行，每个人都对自己的部分更专业，且彼此可以相互验证。不过也是因为存在验证环节，组织更大规模的数学项目（尤其是需要涉及公众贡献），一直具有挑战性。
而现在，通过 AI 工具以及 Lean 这样的证明辅助语言，数学项目的大规模协作变得可能。
打前阵的就有开源社区寻找梅森素数的成功尝试，在这个代号 GIMPS 的志愿项目中，任何拥有强大 PC 或 GPU 的人都可以加入寻找梅森素数。
虽然证明助手这样的 AI 工具在这个项目里用得还不多，但表达的精神是类似的。
因此，在开展等式理论计划之前，陶哲轩就打算搞一个实验：
在一个数学项目中，聚齐专业 / 业余数学家、AI 工具、证明辅助语言 Lean 等，一同干大事！
受去年 MathOverflow 上一个等式问题的启发，这一次，陶哲轩将目光瞄准了代数领域中的 magma。
当时的问题是酱婶儿的：
交换恒等式和常量恒等式之间是否存在等价关系？
抛开具体问题不谈，这里主要想说明 magma 涉及等式之间的关系。
简单来说，magma 是一个代数结构，它由一个集合和一个在该集合上定义的二元运算组成，但不要求满足任何额外的代数性质，如结合律、交换律等。
我们常见的有关 magma 的等式包括：
而等式理论计划，就是要找出 magma 中不同等式之间的等价、推出和非推出关系。
就拿上面这 11 个等式来看，最终的关系图 be like：
可以看出，常量公理等式（1）蕴含了其他所有等式，即如果 1 成立，那么其他等式也自动成立；而反身公理等式（11）由于最宽松（x=x），几乎所有的 magma 都满足这个公理。
回到计划本身，陶哲轩等人在初始阶段集中研究了那些只包含一个方程的 magma 定律，这些方程最多包含四个 magma 操作（即二元运算）。
举个例子，如果我们有一个 magma（M，∗），其中 M 是元素的集合，∗是定义在 M 上的二元运算。
则一个“最多四次使用 magma 操作”的表达式如下：
a∗b（一次操作）
(𝑎∗𝑏)∗𝑐(a∗b)∗c（两次操作）
𝑎∗(𝑏∗(𝑐∗𝑑)) a∗(b∗(c∗d))（三次操作）
((𝑎∗𝑏)∗𝑐)∗(𝑑∗𝑒)((a∗b)∗c)∗(d∗e)（四次操作）
其中𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒都是集合 M 中的元素，每次∗的使用都算作一次 magma 操作。
这样的等式定律有 4694 个，由于每个定律都可能蕴含其他 4693 个定律（一个定律不能蕴含自身），因此总共有 4694*(4694-1) = 22,028,942 个可能的蕴含关系需要被证明或反驳。
这里的蕴含关系包括“蕴含”和“反蕴含”，其中“蕴含”关系又涉及到两种类型：
已证明的蕴含：在 Lean 中已经过验证
推测的蕴含：尚未在 Lean 中验证，可能由人或计算机生成
更多项目细节，陶哲轩在项目日志中，留下了非常详细的记录 ——
9 天进度 99.866%，大模型有用但“表现低于预期”
简单总结“等式理论计划”的进度，就是一个字：快。
陶哲轩本人都说：
这个项目的进度远超我的预期。
有多快？
仅仅 48 小时，很大一部分蕴含关系就已“解决在望”。
项目启动第 5 天，项目参与者们已经从最初的约 2200 万条蕴含关系中解决了大量简单蕴含，只剩下约 300 万的数量尚待解决。
项目启动第 9 天，随着首次重大重构的完成 —— 合作者们改进了 magma 的运算符号，以使 Lean 代码的编译速度显著加快，以及一些研究问题的推进，项目完成度一举从 87% 跃升到了 99.866%。
第 19 天，项目进度来到 99.9963%。陶哲轩在他的博客文章中提及，写论文的事已经提上日程，并且可能包含数十名作者。
GitHub 显示该项目有 45 位贡献者：
到了 11 月 21 日，也就是项目第 57 天，随着主项目最后一个未解决的蕴含关系被搞定（待验证），“等式理论计划”目标已宣告达成。
论文可以正式开写了。
陶哲轩透露，论文的框架早已拟好，但后续还需要大量工作来对其进行更新，并转换为可以提交的形式。
日志中也详细谈到了大模型工具发挥的作用。
在第一天，陶哲轩就对 GitHub Copilot 大加赞赏：
GitHub Copilot 在处理日常任务时非常有用，比如输入需要证明的新 Lean 定理，或者更新蓝图来整合最新的 PR 结果。
他具体举了个例子：要将 Lean 转换为 LaTeX，把 Lean 代码粘贴为注释，开始敲 LaTeX，GitHub Copilot 就会自动补全剩下的内容。
不过，陶哲轩也坦率表示，大模型们在项目中的表现“低于预期”，更多的时候，数学家们用到的还是“经典 AI”，比如自动定理证明器 Vampire 等。
他还提到：
项目的参与者非常多元化，包括处在职业生涯各个阶段的数学家和计算机科学家，学生和业余爱好者。Lean 在整合人类和机器生成的贡献方面表现出色。机器生成的部分在数量上是贡献的最主要来源，不过，许多自动生成的结果最初是人类在特殊情况下得出的，之后被进一步推广和形式化。
具体到项目中，GitHub Copilot 的主要作用还是加快代码的编写，而 Claude 则被用来帮忙创建可视化工具，比如这个“等式浏览器”：
ChatGPT 则更多扮演激发数学家们灵感的小助手角色。
对陶哲轩来说，ChatGPT 能帮他快速掌握通用代数的一些细节。
而 lyphyser、Daniel Weber、Fan Zheng 和 Bhavik Mehta 这几位项目参与者，还通过跟 ChatGPT 的讨论，证明 1659 这个等式可能具有非平凡的合流性。
主项目里程碑达成，不过“等式理论计划”的其他衍生项目仍在进行中，比如研究在有限原群限制下的类似蕴含图、对蕴含图进行数据分析等等。
陶哲轩也再次强调了这一项目和 AI 的联系：
希望项目中的蕴含关系能够作为未来 AI 数学工具的基准测试。
除了陶哲轩之外，项目的主要维护人还有意大利数学家 Pietro Monticone 和 Shreyas Srinivas。
两位都是 Lean 重度爱好者。
Pietro Monticone 还和他特伦托大学的同事们一起搞过指数 3 的费马大定理的 Lean 版证明。
GitHub：
https://github.com/teorth/equational_theories
参考链接：
[1]https://mathstodon.xyz/@tao/113522452070896956
[2]https://teorth.github.io/equational_theories/
[3]https://terrytao.wordpress.com/2024/10/12/the-equational-theories-project-a-brief-tour/
本文来自微信公众号：量子位（ID：QbitAI），作者：鱼羊、一水，原标题《陶哲轩宣布“等式理论计划”成功，人类 AI 协作，57 天完成 2200 万 + 数学关系证明》
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