3 名高中生，只用课余时间，重新证明了 100 年前的数学定理。
不只是圆，你可以在门格海绵（Menger Sponge）中找到任何一个数学结（knot）！
你可能对门格海绵还比较陌生，它是 Karl Menger（卡尔・门格尔）在 1926 年创建的一个非常有趣的概念，对现代数学、图形学等领域都很重要。
这个分形海绵在一百年间吸引了无数专业和业余数学家，原因也很简单：它看起来太有趣了。
2014 年，数百名数学爱好者还参与了一个名为 MegaMenger 的全球行动，用名片制作出了重达 200 磅的新版本门格海绵。
由于它有多孔、泡沫状的结构，还经常被用来模拟减震器和特殊的空间-时间形式。
它的结构非常优雅。我们可以从一个立方体出发，首先移除位于其中心以及六个面中心的立方体。然后对剩下的 20 个立方体重复此过程。
在每次迭代中，它的间隙会呈指数级增加，最终结构非常类似我们常见的“海绵”，这也是它名字的由来。
门格海绵也有着非常特别的数学性质：随着迭代，立方体的形状体积会减少到零，而表面积无限增大。
Menger 在 1926 年提出这个概念时，就证明了任何能想象出来的曲线 —— 简单的线条和圆形，看起来像树或雪花的结构 —— 都可以变形然后嵌入海绵的某个地方，也就是说这种海绵是一种“通用曲线”。
而今天的主角，来自加拿大的 3 名高中生，跟随当时还在就读多伦多大学研究生的 Malors Espinosa (马洛斯・埃斯皮诺萨)，进一步扩展了这个定理的证明。
而且他们还发现，三叶结所属类“普雷策尔结（pretzel knot）”也都可以映射到四面体版本的门格海绵中。
北卡罗来纳州立大学的拓扑学家 Radmila Sazdanovic 也评论说，“这是一种非常巧妙的证明方法。”
这到底是怎么做到的呢？
用弧形图与康托尔集表示结
Malors 在阅读了相关证明后意识到，Menger 已经证明可以在他的海绵中找到任意一个圆。
那么，如果是另外一种类似于“圆”的形状，这个定理还能成立吗？
比如一个经典的数学结：将一条绳子扭曲并打结，然后将其两端封闭形成一个环。此时，如果让一只蚂蚁沿着它行走，最终它会回到起点，就像在圆上一样。
这样一来，每个结都与圆等价，或者说“同胚（homeomorphic）”于圆。
Malors 从这个想法中得到了灵感，他决定从自己授课的高中里找一些学生来证明：门格海绵中可以找到任何一个结。
后来，三名高中生 ——Joshua Broden、Noah Nazareth 和 Niko Voth 真的做到了！
在参加这个证明活动之前，三位学生从来没有做过这种“没有答案”的题目，但这群 14 岁的少年都非常激动。
他们的目标类似于用一根微型针穿过一团灰尘，也就是海绵经过多次移除后剩下的部分。
他们必须将针插在正确的位置，精确无误地打结，而且不能离开海绵。如果他们的线因为任何一个结而漂浮在海绵的缝隙中，那就失败了。
虽然这看起来非常困难，但有一种简化的方法。绳结可以表示为一张平面上的特殊图表，称为弧表示（arc presentations）。
要绘制弧表示图，首先要了解结的各股是如何前后移动的。然后，运用一套规则将这些信息转化为网格上的一系列点。网格的每一行和每一列都将包含两个点。
用水平和垂直线连接这些点。每当两个线段交叉时，将垂直线画在水平线之上。
每个结都可以用这种网格状的方式表示。虽然弧表示法有时看起来比其他的绘制方法更复杂，但它可以让数学家更容易研究结的一些重要性质。
当学生们看到纵横交错的线条图时，他们联想起了门格海绵的面。
你可以非常简单地把弧线的水平线放在海绵的一个面上，把垂直线放在海绵的另一个面上。
难点在于如何将结拉伸回三维空间。在弧线的每一个转角处，都需要通过海绵的内部将两个面连接起来，避免碰到洞。
为了确保这一点，他们想到了康托尔集（the Cantor set），它是门格海绵的一维模拟。
要构建这个集合，首先要从一条线段开始，把它分成三份。去掉中间的三分之一，然后对剩下的两段做同样的处理，以此类推，无穷无尽。最后剩下的就是零散的点了。
研究小组的证明同时利用了门格海绵和康托尔集，它们有相同数量的移除步骤。
他们发现，海绵面上坐标都在康托尔集中的点不应该有洞。而且，由于海绵的重复设计，在这些点的正后方也不应该有洞。因此，结可以自由、清晰地穿过海绵，而不会不小心跳出海绵的材料。
接下来，学生们要做的就是证明他们可以压缩或拉伸任意绳结的弧线表示，使其所有角都与康托尔集中的坐标对齐。(这种压缩和拉伸是可行的，因为它不会影响弧线的整体结构，因此也不会影响它所代表的绳结）。
为了完成这最后一步，3 位同学走了一条捷径。
他们证明，他们可以对任何弧线进行变形，使其垂直线段和水平线段的交叉点都在康托尔集中。这就自动保证了更多的角也会与康托尔集对齐。
换句话说，他们总能将给定的结嵌入门格尔海绵的某个迭代中。
这就已经完成了 Malors 最初的证明。不过，他们还想进一步推进这个研究：是否所有的结也可以嵌入门格海绵的四面体版本中？
对于学生们的想要在四面体中寻找三叶结的想法，Malors 起初坚信是不可能的。
但几周后，学生们真的做到了：他们找到了一种新方法，可以将三叶结的弧表示映射到四面体中。
他们后来证明，这种方法适用于三叶结所属的更广泛的结类“普雷策尔结（pretzel knot）”。
不过目前对于其他类型的结的证明还没能完成。
One More Thing
Malors 表示，这次证明过程，让学生们真正体会到了数学研究的痛苦。
不同于高中数学题目中总是会给出确定的答案，真正的数学研究中，很大一部分时间都是在有希望的失败中挣扎。
Malors 认为学生们的证明方法可能为更广泛地测量分形的复杂性提供了一种新思路。
并非所有的分形都能保证容纳所有类型的结。也许可以根据它们能容纳和不能容纳哪些类型的结来更好地理解它们的结构。
至少，这件作品可以激发新的艺术灵感，类似于 2014 年的 MegaMenger 大赛等等。
在证明期间，3 位同学都已高中毕业。只有 Broden 决定在大学课业不忙的时候继续研究四面体问题，但三人也都在考虑从事数学职业。
另一个同学 Nazareth 也表示：“我正在努力为更大的事业，为真理的本质做出贡献，这感觉很有意义。”
参考链接：
https://www.quantamagazine.org/teen-mathematicians-tie-knots-through-a-mind-blowing-fractal-20241126/
本文来自微信公众号：量子位（ID：QbitAI），作者：奇月
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